Pm是自然数m各数字之和，Pn是自然数n各数字之和，m*n等于m⼀n的余数，已知m+n=4084，求（Pm+Pn）*9=？

此题首先要说明符号“*”表示求余，即“m*n等于m/n的余数”，而非乘号。现在开始解题：
因为任一个自然数X除以9的余数为这个自然数各数字和除以9的余数，即
X*9＝S(X)*9，此处S(X)表示X的各位数字和。
所以（Pm+Pn)*9＝（S(m)+S(n))*9＝4084*9＝（4+0+8+4）*9＝16*9＝7

把（PM+PN）×9化成：P（M+N）×9，又M+N=4084，根据题意：P（4084）=4+0+8+4=16，即原式=16×9，又依题意，16×9为16除以9的余数，即7。

参考:

因为一个十进制自然数被9除所得的余数等于它的各位数字之和被9除所得的余数
所以 M被9除的余数=PM被9除的余数
N被9除的余数=PN被9除的余数
所以 M+N被9除的余数=PM+PN被9除的余数
所以 (PM+PN)*9=4084被9除的余数=7

原题：Pm是自然数m各数字之和，Pn是自然数n各数字之和，m*n等于（表示）m/n的余数，已知m+n=4084，求（Pm+Pn）*9=？

析：显然m/n的余数小于n. m*n怎么会小于n呢？原来出题人的意思是“m*n表示m/n的余数”。事实上，好的记号是 mod；有的书上为简便也记作%.不建议用*，因为它常用来表示乘法。

题目规范化：
P(m)表示自然数m各数字之和
已知m+n=4084，求（Pm+Pn）mod 9

解：
以下用==表示同余号≡

易知:n mod 9==P(n) mod 9
参见：http://zhidao.baidu.com/question/111630933.html

数n=ar...a2a1a0=ar*10^r+...+a1*10+a0,其数字和为P(n),则
n==P(n)mod 9.
因为:10^r==1

故：
（Pm+Pn）mod 9==m+n mod 9==P(m+n)==P(4084)==7

备用：
m<4084,故Pm<=P(4999)-1=30,同理Pn<=30
从而Pm+Pn<=60.