已知数列{an}中,a1>0,且a(n+1)=√(3+an)⼀2;(1)试求a1的取值范围，使a(n+1)>an对任何正整数n都成立；（2）

解：(1)设f(x)=√(3+x)/2
对f(x)求导，有f‘(x)=1/4√(3+x)
∴当x>0时函数f(x)为单调增函数
若a(n+1)>an对任何正整数n都成立
则f(a(n+1))>f(an)=a(n+1)
∴√(3+x)/2>x的解集即为a1的取值范围(其中x>0)
解得a1∈(0，1)
(2)当a1=4时，a2=√7/2<4=a1
又∵函数f(x)单调递增
∴f(a2) 同理可知当a1=4时，a(n+1) 则bn=|a(n+1)-an|=an-a(n+1)
Sn=b1+b2+···+bn=a1-a2+a2-a3+···+an-a(n+1)=a1-a(n+1)
可证数列an有极限(证法很多，如极限存在定理之类，用上下极限性质也可以很快看出有极限)
既然极限存在，设极限为a，则a满足a=√(a+3)/2(因为数列an极限存在时liman=lima(n+1))
解得a=1
∴a(n+1)>a=1
∴a1-a(n+1)<4-1=3
为什么是证明<5/2不知道。楼主可以用计算机迭代试试，应该是趋近于3的

附一个c的验证代码
#include
#include
main()
{
float a=4,b=0;
int i=1000;
while(i--)
{
b=b+a-sqrt(a+3)/2;
a=sqrt(a+3)/2;
}
printf("%f",b);
}