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证明1⼀n的n次方+2⼀n的n次方+.........+n⼀n的n次方<e⼀e-1

2025-12-18 01:48:57

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回答1：

f(x)=xln(1-a/x)，f'(x)=ln(1-a/x)+a/(x-a)，f''(x)=－a^2/[x(x-a)^2]<0，再利用当x趋于无穷时f‘(x)趋于0知f'(x)>0，于是f(x)严格递增，故数列(1-k/n)^n是严格递增数列，且当n趋于无穷时趋于(1/e)^k，于是得到(1-k/n)^<(1/e)^k（其实我们就要这个不等式，如果你有别的方法证明的话，就不用上面这么麻烦了）。于是an=(n/n)^n+(1-1/n)^n+(1-2/n)^n+...+(1-(n-1)/n)^n<1+1/e+(1/e)^2+...+(1/e)^(n-1)<1/(1-1/e)=e/(e-1)

回答2：

如果是(1/n)^n+(2/n)^n+.........+(n/n)^n则这是一道错题。
如果是1/n^n+2/n^n+.........+n/n^n则，其证明很简单。